O que é produto vetorial?

Produto Vetorial (Produto Cruzado)

O produto vetorial, também conhecido como produto cruzado, é uma operação binária definida entre dois vetores em um espaço tridimensional que resulta em um terceiro vetor. Este novo vetor é perpendicular a ambos os vetores originais e tem uma magnitude igual à área do paralelogramo definido pelos dois vetores originais.

Definição:

Dados dois vetores a e b no espaço tridimensional, o produto vetorial é denotado por a × b. O resultado é um vetor c que possui as seguintes propriedades:

• Direção: c é perpendicular a ambos a e b. A direção é determinada pela regra da mão direita.
• Magnitude: |c| = |a| |b| sen(θ), onde θ é o ângulo entre a e b. Isso corresponde à área do paralelogramo formado por a e b.

Cálculo:

Se a = (a₁, a₂, a₃) e b = (b₁, b₂, b₃), então a × b pode ser calculado como:

a × b = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁)

Uma maneira mnemônica de lembrar isso é usando um determinante:

a × b = | i j k | | a₁ a₂ a₃ | | b₁ b₂ b₃ |

Onde i, j e k são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.

Propriedades:

• Anticomutatividade: a × b = - (b × a) (Veja: https://pt.wikiwhat.page/kavramlar/Anticomutatividade)
• Distributividade: a × (b + c) = a × b + a × c (Veja: https://pt.wikiwhat.page/kavramlar/Distributividade)
• Produto Escalar Triplo: a ⋅ (b × c) = b ⋅ (c × a) = c ⋅ (a × b). Isso representa o volume do paralelepípedo formado pelos vetores a, b e c. (Veja: https://pt.wikiwhat.page/kavramlar/Produto%20Escalar%20Triplo)
• Paralelismo: a × b = 0 se e somente se a e b são paralelos ou um deles é o vetor nulo. (Veja: https://pt.wikiwhat.page/kavramlar/Paralelismo)

Aplicações:

O produto vetorial tem diversas aplicações em física, engenharia e matemática, incluindo:

• Cálculo de Torque: O torque é o produto vetorial da força e do vetor de posição do ponto de aplicação da força em relação a um ponto de referência. (Veja: https://pt.wikiwhat.page/kavramlar/Torque)
• Cálculo de Área: Como mencionado, a magnitude do produto vetorial é a área do paralelogramo formado pelos vetores. Isso pode ser usado para calcular áreas de triângulos no espaço tridimensional.
• Determinação da Normal a um Plano: Dado dois vetores que definem um plano, o produto vetorial desses vetores resulta em um vetor normal ao plano.
• Cálculo de Velocidade Angular: Em mecânica, o produto vetorial é usado para calcular a velocidade angular de um corpo rígido.
• Computação Gráfica: Determinação das normais das superfícies para sombreamento e iluminação.

Regra da Mão Direita:

A direção do vetor resultante c = a × b é determinada pela regra da mão direita. Se você apontar os dedos da mão direita na direção de a e curvá-los na direção de b, o seu polegar apontará na direção de c.

O produto vetorial é uma ferramenta fundamental para trabalhar com vetores no espaço tridimensional e resolver problemas em diversas áreas da ciência e da engenharia.